洛谷“新创无际夏日公开赛----幻想乡的西瓜”T3

题意:将球体沿俯视图的两条半径切去一个扇形,求正视图中球的内部部分占总可视面积的百分比,如图为俯视图,正视图面向0°的位置。两条半径的极角为a,b∈[0,360]的整数,从若x∈[a,b]则x对应的半径已被切去。如图:

此题的分类讨论较多。设两条半径的极角分别为a,b(a,b∈[0,360]):

则可以按a,b所在的四个象限及a,b的大小关系分为20类。
下面讨论对于某一分类,如何确定面积。由于切面为两个半圆,所以在空间中它也是两个圆。

引理1:圆在空间中对于任意平面的平行投影为椭圆或线段。

引理2:设一椭圆的长短轴长度分别为p,q,则$S=\pi pq$

因此,我们可以利用引理1、2求出切面的正视图面积,求出面积差,进而求出答案。

需要注意的是,某些情况下全面积会由于切去部分而减少,如a=0,b=180的情况。